#include <math.h>
#include "lmmc/special_functions.h"
#include <float.h>
#include "statistics_internal.h"

special_functions.c 的引用(Include)关系图:

结构体
struct	lmmc_lambertw_state_t

函数
lmmc_status_t	lmmc_erf (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out)
	通过 C99 erf 计算误差函数 erf(x)。
lmmc_status_t	lmmc_erfc (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out)
	通过 C 标准库 erfc 计算互补误差函数 erfc(x) = 1 - erf(x)。
lmmc_status_t	lmmc_lgamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out)
	使用 Lanczos 近似计算对数伽马函数（g=7，n=9）。
lmmc_status_t	lmmc_tgamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out)
	计算伽马函数 tgamma(x) = exp(lgamma(x))，要求 x > 0。
lmmc_status_t	lmmc_beta (lmmc_real_t a, lmmc_real_t b, lmmc_real_t *out)
	使用稳定的共享 log-beta 内核，仅拒绝最终结果溢出。
lmmc_status_t	lmmc_digamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out)
	计算双伽马函数 psi(x) = d/dx ln(Gamma(x))。
lmmc_status_t	lmmc_lambertw (lmmc_real_t z, lmmc_real_t *out_res)
	计算 Lambert W 函数主分支 \(W_0(z)\) .
lmmc_status_t	lmmc_lambertw_wm1 (lmmc_real_t z, lmmc_real_t *out_res)
	计算 Lambert W 函数 \(W_{-1}\) 分支,要求 \(z \in [-1/e, 0)\) .

结构体说明

◆ lmmc_lambertw_state_t

struct lmmc_lambertw_state_t

在文件 special_functions.c 第 230 行定义.

lmmc_lambertw_state_t 的协作图:

成员变量
double	lo
double	hi
double	w
double	target
double	target_error
double	step
int	region
int	increasing

函数说明

◆ lmmc_erf()

lmmc_status_t lmmc_erf	(	lmmc_real_t	x,
		lmmc_real_t *	out )

通过 C99 erf 计算误差函数 erf(x)。

计算误差函数 \(\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt\) .

通过 C99 erf 计算误差函数 erf(x)。

参数

[in]	x	输入值.
[out]	out	输出 \(\mathrm{erf}(x)\) .

返回: LMMC_STATUS_OK 成功;LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT 若 out 为 NULL.

在文件 special_functions.c 第 7 行定义.

引用了 lmmc_erf(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.

被这些函数引用 lmmc_erf().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_erfc()

lmmc_status_t lmmc_erfc	(	lmmc_real_t	x,
		lmmc_real_t *	out )

通过 C 标准库 erfc 计算互补误差函数 erfc(x) = 1 - erf(x)。

计算互补误差函数 \(\mathrm{erfc}(x) = 1 - \mathrm{erf}(x)\) .

直接计算 erfc，保持大 |x| 时的尾部精度。

通过 C 标准库 erfc 计算互补误差函数 erfc(x) = 1 - erf(x)。

对大 \(|x|\) 使用直接近似以保持有效精度.

参数

[in]	x	输入值.
[out]	out	输出 \(\mathrm{erfc}(x)\) .

返回: LMMC_STATUS_OK 成功;LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT 若 out 为 NULL.

在文件 special_functions.c 第 18 行定义.

引用了 lmmc_erfc(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.

被这些函数引用 lmmc_erfc().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_lgamma()

lmmc_status_t lmmc_lgamma	(	lmmc_real_t	x,
		lmmc_real_t *	out )

使用 Lanczos 近似计算对数伽马函数（g=7，n=9）。

计算对数伽马函数 \(\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .

ln(Gamma(x)) = (x - 0.5) * ln(x + g - 0.5) - (x + g - 0.5) + 0.5*ln(2*pi) + ln(Ag(x))，其中 Ag(x) 为 Lanczos 级数和。

使用 Lanczos 近似计算对数伽马函数（g=7，n=9）。

使用 Lanczos 近似(g=7, n=9 系数),精度约 15 位有效数字.

参数

[in]	x	输入值,必须为正数.
[out]	out	输出 \(\ln\Gamma(x)\) .

返回: LMMC_STATUS_OK 成功; LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT 若 x <= 0 或 out 为 NULL.

注解: 不分配内存，输入保持原值。

Numerical Recipes / Cephes 的 Lanczos 系数（g=7，n=9）。

反射公式：Gamma(x) * Gamma(1-x) = pi / sin(pi*x)。

对数形式：lgamma(x) = ln(pi) - ln(sin(pi*x)) - lgamma(1-x)。

在文件 special_functions.c 第 30 行定义.

引用了 lmmc_lgamma(), LMMC_PI, LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE , 以及 LMMC_STATUS_OK.

被这些函数引用 lmmc_lgamma() , 以及 lmmc_tgamma().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_tgamma()

lmmc_status_t lmmc_tgamma	(	lmmc_real_t	x,
		lmmc_real_t *	out )

计算伽马函数 tgamma(x) = exp(lgamma(x))，要求 x > 0。

计算伽马函数 \(\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .

计算伽马函数 tgamma(x) = exp(lgamma(x))，要求 x > 0。

参数

[in]	x	输入值,必须为正数.
[out]	out	输出 \(\Gamma(x)\) .

返回: LMMC_STATUS_OK 成功;LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT 若 x <= 0 或 out 为 NULL; LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE 若结果溢出.

在文件 special_functions.c 第 75 行定义.

引用了 lmmc_lgamma(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE, LMMC_STATUS_OK , 以及 lmmc_tgamma().

被这些函数引用 lmmc_tgamma().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_beta()

lmmc_status_t lmmc_beta	(	lmmc_real_t	a,
		lmmc_real_t	b,
		lmmc_real_t *	out )

使用稳定的共享 log-beta 内核，仅拒绝最终结果溢出。

计算贝塔函数 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) ,要求 \(a,b > 0\) .

使用稳定的共享 log-beta 内核，仅拒绝最终结果溢出。

使用 log-beta、Gamma 比值及 Stirling 公式稳定求值，支持 a+b 超出可表示范围。

参数

[in]	a	第一个有限正形状参数。
[in]	b	第二个有限正形状参数。
[out]	out	B(a,b)；有效下溢返回零，仅成功时写入。

返回: OK 表示成功；INVALID_ARGUMENT 表示形状参数无效或输出为空； NUMERICAL_FAILURE 表示最终结果上溢或数值求值失败。

在文件 special_functions.c 第 92 行定义.

引用了 lmmc_beta(), lmmc_log_beta(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE , 以及 LMMC_STATUS_OK.

被这些函数引用 lmmc_beta().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_digamma()

lmmc_status_t lmmc_digamma	(	lmmc_real_t	x,
		lmmc_real_t *	out )

计算双伽马函数 psi(x) = d/dx ln(Gamma(x))。

计算双伽马函数 \(\psi(x) = \frac{d}{dx}\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .

按 psi(x+1) = psi(x) + 1/x 递推至 x >= 7，再使用渐近展开： psi(x) ~ ln(x) - 1/(2x) - sum_{k=1}^{N} B_{2k}/(2k * x^{2k})，其中 B_{2k} 为 Bernoulli 数。

计算双伽马函数 psi(x) = d/dx ln(Gamma(x))。

使用递推关系将 x 提升到大值区域后应用渐近展开.

参数

[in]	x	输入值,必须为正数.
[out]	out	输出 \(\psi(x)\) .

返回: LMMC_STATUS_OK 成功;LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT 若 x <= 0 或 out 为 NULL.

渐近展开：psi(x) ~ ln(x) - 1/(2x) - 1/(12x^2) + 1/(120x^4) - 1/(252x^6) + ...。

Bernoulli 数：B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42，B8=-1/30，B10=5/66，B12=-691/2730。

展开系数为 B_{2k} / (2k)。

< 系数：B2/(2*1) = (1/6)/2。

< 系数：B4/(2*2) = (-1/30)/4。

< 系数：B6/(2*3) = (1/42)/6。

< 系数：B8/(2*4) = (-1/30)/8。

< 系数：B10/(2*5) = (5/66)/10。

< 系数：B12/(2*6) = (-691/2730)/12。

< 系数：B14/(2*7) = (7/6)/14 = 1/12。

< ix^(2k)，初值为 ix^2。

在文件 special_functions.c 第 112 行定义.

引用了 lmmc_digamma(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.

被这些函数引用 lmmc_digamma().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_lambertw()

lmmc_status_t lmmc_lambertw	(	lmmc_real_t	z,
		lmmc_real_t *	out_res )

计算 Lambert W 函数主分支 \(W_0(z)\) .

微小输入使用逆级数，分支点附近使用抗消减级数，其余使用带保护的 Halley/二分迭代求解单调残差。恰等于 -LMMC_INV_E 的 binary64 输入代表端点 -1/e，返回 -1；相邻输入按各自值处理。W0 保留零的符号。

前向误差工程目标为 64*DBL_EPSILON*abs(W)+2*minimum_subnormal。验收以残差误差半径包围根，计入 binary64 舍入，并假设所支持 libm 的 log/exp/expm1 误差至多为 2 ULP；此为工程误差模型，不构成精确算术证明或 C 标准对 libm 的保证。

参数

[in]	z	大于或等于端点代表值的有限输入。
[out]	out_res	有限结果，仅在成功时写入。

返回: OK 表示成功；INVALID_ARGUMENT 表示有限输入超出定义域或输出为空； NUMERICAL_FAILURE 表示输入或中间量非有限； CONVERGENCE_FAILED 表示 100 次迭代仍无法确认前向误差目标。

在文件 special_functions.c 第 364 行定义.

引用了 lmmc_lambertw().

被这些函数引用 lmmc_lambertw().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图:

◆ lmmc_lambertw_wm1()

lmmc_status_t lmmc_lambertw_wm1	(	lmmc_real_t	z,
		lmmc_real_t *	out_res )

计算 Lambert W 函数 \(W_{-1}\) 分支,要求 \(z \in [-1/e, 0)\) .

保护迭代、工程精度模型、端点约定和失败时保留输出的规则同 lmmc_lambertw。

参数

[in]	z	[-LMMC_INV_E,0) 内的有限输入；正零和负零均无效。
[out]	out_res	<= -1 的有限结果，仅在成功时写入。

返回: OK、INVALID_ARGUMENT、NUMERICAL_FAILURE 或 CONVERGENCE_FAILED，含义同 lmmc_lambertw。

在文件 special_functions.c 第 368 行定义.

引用了 lmmc_lambertw_wm1().

被这些函数引用 lmmc_lambertw_wm1().

函数调用图:

这是这个函数的调用关系图: