calculus_utils.hpp

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/**
 * @file calculus_utils.hpp
 * @brief 微积分工具函数:连续性判定,渐近线分析,对数微分,微分,全微分,反函数导数,反函数求解等.
 */
#pragma once
 
#include "computation_context.hpp"
#include "result.hpp"
#include "symbolic.hpp"
#include <vector>
#include <string>
#include <utility>
#include <memory>
 
namespace LMCAS {
 
 
/**
 * @brief 连续性类型枚举.
 */
enum class ContinuityType {
    Continuous,  ///< 连续:左极限 = 右极限 = 函数值
    Removable,   ///< 可去间断点:左极限 = 右极限 != 函数值(或函数无定义)
    Jump,        ///< 跳跃间断点:左极限 != 右极限,但两侧极限均存在
    Essential    ///< 本性间断点:至少一侧极限不存在或为无穷
};
 
using ContinuityResult = Result<ContinuityType>;
 
/**
 * @brief 根据左右极限与函数值，在给定上下文假设下证明实数域中的连续性分类。
 * 跳跃与可去间断的比较需证明逐点不等，相等性需保证各值有定义；形式非恒等不足以证明二者。
 * 参数值或有定义性未确定时返回 Inconclusive；资源、取消和底层证明错误原样传播，不作为分类。
 */
LMCAS_API ContinuityResult continuity_at_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& point, ComputationContext& context);
 
LMCAS_API ContinuityResult continuity_at_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& point);
 
 
/**
 * @brief 渐近线分析结果.
 */
struct AsymptoteResult {
    std::vector<std::shared_ptr<SymbolicExpr>> vertical;     ///< 垂直渐近线 x = a
    std::vector<std::shared_ptr<SymbolicExpr>> horizontal;   ///< 水平渐近线 y = L
    std::vector<std::pair<std::shared_ptr<SymbolicExpr>,
                          std::shared_ptr<SymbolicExpr>>> oblique; ///< 斜渐近线 (斜率, 截距)
};
 
using AsymptoteAnalysisResult = Result<AsymptoteResult>;
using SymbolicExprVectorResult = Result<std::vector<std::shared_ptr<SymbolicExpr>>>;
 
/**
 * @brief 计算函数的渐近线.
 *
 * 垂直渐近线:分母为零且极限为 +/-infinity 的点.
 * 水平渐近线:x->+/-infinity 时的极限值.
 * 斜渐近线:当无水平渐近线时,计算 slope = lim(f/x) 和 intercept = lim(f - slope*x).
 *
 * @param[in] f   待分析的函数表达式
 * @param[in] var 自变量名
 * @return 渐近线分析结果
 */
LMCAS_API AsymptoteAnalysisResult asymptotes_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算函数的渐近线,并显式报告无效输入.
 */
LMCAS_API AsymptoteAnalysisResult asymptotes_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var);
 
 
 
/**
 * @brief 对数微分法:计算 f 关于 var 的导数.
 *
 * 利用公式 d/dx[f] = f * d/dx[ln(f)],对 ln(f) 先应用对数化简规则
 * (乘积变求和,幂次提前)再求导,适用于 x^x 或多项乘积等复杂表达式.
 *
 * @param[in] f   待求导的表达式
 * @param[in] var 求导变量名
 * @return 对数微分结果表达式
 */
LMCAS_API std::shared_ptr<SymbolicExpr> log_differentiate(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var);
 
/**
 * @brief 计算单变量微分 dy = f'(x)dx 中的系数 f'(x).
 *
 * 返回 f 关于 var 的导数,即微分 df 中 dx 的系数.
 *
 * @param[in] f   函数表达式
 * @param[in] var 微分变量名
 * @return f'(var) 表达式
 */
LMCAS_API std::shared_ptr<SymbolicExpr> differential(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var);
 
/**
 * @brief 计算全微分 df = sum(partialf/partialxᵢ)*dxᵢ.
 *
 * 对多元函数 f 关于每个变量求偏导,返回 (偏导数, 变量名) 对的列表,
 * 表示全微分中各项.
 *
 * @param[in] f    多元函数表达式
 * @param[in] vars 变量名列表
 * @return (partialf/partialxᵢ, "xᵢ") 对的向量
 */
LMCAS_API std::vector<std::pair<std::shared_ptr<SymbolicExpr>, std::string>> total_differential(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::vector<std::string>& vars);
 
/**
 * @brief 计算反函数导数 (f-¹)'(point) = 1 / f'(f-¹(point)).
 *
 * Checked API 只在反函数候选唯一且 f'(x_0) 可构造,非零时成功.
 */
LMCAS_API ExpressionResult inverse_derivative_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& point,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算反函数导数,并显式报告失败语义.
 */
LMCAS_API ExpressionResult inverse_derivative_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& point);
 
/**
 * @brief 计算反函数导数 (f-¹)'(point) = 1 / f'(f-¹(point)).
 *
 * The convenience overload 先求解 f(x) = point 得到第一个 x_0,再计算
 * 1/f'(x_0).若 f'(x_0) = 0 则返回 nullptr.
 *
 * @param[in] f     函数表达式
 * @param[in] var   变量名
 * @param[in] point 求导点(y 值)
 * @return 反函数导数表达式;nullptr 表示输入位于当前支持域之外
 */
 
/**
 * @brief 求解反函数 f-¹(y),即求解方程 f(x) = y 关于 x 的所有解.
 *
 * Checked API 使用 solution-set dispatcher;只在有限精确解或可证明空集
 * 时成功,超出支持域返回 `CasErrc::Inconclusive`.
 */
LMCAS_API SymbolicExprVectorResult inverse_function_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& y, ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文求解反函数,并显式报告失败语义.
 */
LMCAS_API SymbolicExprVectorResult inverse_function_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& y);
 
/**
 * @brief 求解反函数 f-¹(y),即求解方程 f(x) = y 关于 x 的所有解.
 *
 * The convenience overload 利用现有求解器将 f(var) - y = 0 求解,返回所有分支.
 *
 * @param[in] f   函数表达式
 * @param[in] var 变量名
 * @param[in] y   目标值表达式
 * @return 所有解的列表
 */
 
 
/**
 * @brief 计算显式曲线 y = f(x) 的曲率 κ = |f''| / (1 + f'^2)^(3/2)
 * @param[in] f 曲线函数表达式 f(x)
 * @param[in] var 自变量名称
 * @return 曲率的符号表达式
 */
LMCAS_API ExpressionResult curvature_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算显式曲线曲率,并显式报告无效输入.
 */
LMCAS_API ExpressionResult curvature_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var);
 
 
/**
 * @brief 计算参数曲线 (x(t), y(t)) 的曲率 κ = |x'y'' - y'x''| / (x'^2 + y'^2)^(3/2)
 * @param[in] x_t x 分量关于参数 t 的表达式
 * @param[in] y_t y 分量关于参数 t 的表达式
 * @param[in] t 参数变量名称
 * @return 曲率的符号表达式
 */
LMCAS_API ExpressionResult curvature_parametric_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& x_t,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& y_t, const std::string& t,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算参数曲线曲率,并显式报告无效输入和零速度.
 */
LMCAS_API ExpressionResult curvature_parametric_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& x_t,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& y_t, const std::string& t);
 
 
 
/**
 * @brief 计算函数 y = f(x) 的拐点(二阶导数为零的点).
 * 
 * @param[in] f 曲线函数表达式 f(x)
 * @param[in] var 自变量名称
 * @return 拐点的 x 坐标列表
 */
LMCAS_API SymbolicExprVectorResult inflection_points_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算拐点,并显式报告无效输入.
 */
LMCAS_API SymbolicExprVectorResult inflection_points_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var);
 
 
 
/**
 * @brief 计算曲线 y = f(x) 绕 x 轴旋转所得旋转面的面积
 *
 * 公式: S = 2pi integralₐᵇ |f(x)| * sqrt(1 + f'(x)^2) dx
 * Checked API 只接受可精确求值的符号定积分;超出支持域返回
 * `CasErrc::Inconclusive`.
 */
LMCAS_API ExpressionResult surface_area_revolution_x_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& a, const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& b,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算绕 x 轴旋转面积,并显式报告失败语义.
 */
LMCAS_API ExpressionResult surface_area_revolution_x_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& a, const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& b);
 
/**
 * @brief 计算曲线 y = f(x) 绕 x 轴旋转所得旋转面的面积.
 *
 * The convenience overload 先尝试符号积分,若失败则回退到数值积分.
 *
 * @param[in] f 曲线函数表达式 f(x)
 * @param[in] var 自变量名称
 * @param[in] a 积分下限
 * @param[in] b 积分上限
 * @return 旋转面面积的符号表达式
 */
 
/**
 * @brief 计算曲线 y = f(x) 绕 y 轴旋转所得旋转面的面积
 *
 * 公式: S = 2pi integralₐᵇ |x| * sqrt(1 + f'(x)^2) dx
 * Checked API 只接受可精确求值的符号定积分;超出支持域返回
 * `CasErrc::Inconclusive`.
 */
LMCAS_API ExpressionResult surface_area_revolution_y_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& a, const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& b,
    ComputationContext& context);
 
/**
 * @brief 使用默认计算上下文计算绕 y 轴旋转面积,并显式报告失败语义.
 */
LMCAS_API ExpressionResult surface_area_revolution_y_checked(
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& f, const std::string& var,
    const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& a, const std::shared_ptr<SymbolicExpr>& b);
 
/**
 * @brief 计算曲线 y = f(x) 绕 y 轴旋转所得旋转面的面积.
 *
 * The convenience overload 先尝试符号积分,若失败则回退到数值积分.
 *
 * @param[in] f 曲线函数表达式 f(x)
 * @param[in] var 自变量名称
 * @param[in] a 积分下限
 * @param[in] b 积分上限
 * @return 旋转面面积的符号表达式
 */
 
} // namespace LMCAS