- 生成于 , 为 LMMC使用
1.18.0
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LMMC
Lamina Mathematic core
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#include <stddef.h>#include "lmmc/config.h"#include "lmmc/status.h"#include "lmmc/numeric_scalar.h"函数 | |
| lmmc_status_t | lmmc_erf (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out) |
| 计算误差函数 \(\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_erfc (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out) |
| 计算互补误差函数 \(\mathrm{erfc}(x) = 1 - \mathrm{erf}(x)\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_lgamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out) |
| 计算对数伽马函数 \(\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_tgamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out) |
| 计算伽马函数 \(\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_beta (lmmc_real_t a, lmmc_real_t b, lmmc_real_t *out) |
| 计算贝塔函数 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) ,要求 \(a,b > 0\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_digamma (lmmc_real_t x, lmmc_real_t *out) |
| 计算双伽马函数 \(\psi(x) = \frac{d}{dx}\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_lambertw (lmmc_real_t z, lmmc_real_t *out_res) |
| 计算 Lambert W 函数主分支 \(W_0(z)\) . | |
| lmmc_status_t | lmmc_lambertw_wm1 (lmmc_real_t z, lmmc_real_t *out_res) |
| 计算 Lambert W 函数 \(W_{-1}\) 分支,要求 \(z \in [-1/e, 0)\) . | |
| lmmc_status_t lmmc_erf | ( | lmmc_real_t | x, |
| lmmc_real_t * | out ) |
计算误差函数 \(\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt\) .
通过 C99 erf 计算误差函数 erf(x)。
| [in] | x | 输入值. |
| [out] | out | 输出 \(\mathrm{erf}(x)\) . |
计算误差函数 \(\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt\) .
在文件 special_functions.c 第 7 行定义.
引用了 lmmc_erf(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.
被这些函数引用 lmmc_erf().
| lmmc_status_t lmmc_erfc | ( | lmmc_real_t | x, |
| lmmc_real_t * | out ) |
计算互补误差函数 \(\mathrm{erfc}(x) = 1 - \mathrm{erf}(x)\) .
通过 C 标准库 erfc 计算互补误差函数 erfc(x) = 1 - erf(x)。
对大 \(|x|\) 使用直接近似以保持有效精度.
| [in] | x | 输入值. |
| [out] | out | 输出 \(\mathrm{erfc}(x)\) . |
计算互补误差函数 \(\mathrm{erfc}(x) = 1 - \mathrm{erf}(x)\) .
直接计算 erfc，保持大 |x| 时的尾部精度。
在文件 special_functions.c 第 18 行定义.
引用了 lmmc_erfc(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.
被这些函数引用 lmmc_erfc().
| lmmc_status_t lmmc_lgamma | ( | lmmc_real_t | x, |
| lmmc_real_t * | out ) |
计算对数伽马函数 \(\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
使用 Lanczos 近似计算对数伽马函数（g=7，n=9）。
使用 Lanczos 近似(g=7, n=9 系数),精度约 15 位有效数字.
| [in] | x | 输入值,必须为正数. |
| [out] | out | 输出 \(\ln\Gamma(x)\) . |
计算对数伽马函数 \(\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
ln(Gamma(x)) = (x - 0.5) * ln(x + g - 0.5) - (x + g - 0.5) + 0.5*ln(2*pi) + ln(Ag(x))， 其中 Ag(x) 为 Lanczos 级数和。
Numerical Recipes / Cephes 的 Lanczos 系数（g=7，n=9）。
反射公式：Gamma(x) * Gamma(1-x) = pi / sin(pi*x)。
对数形式：lgamma(x) = ln(pi) - ln(sin(pi*x)) - lgamma(1-x)。
在文件 special_functions.c 第 30 行定义.
引用了 lmmc_lgamma(), LMMC_PI, LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE , 以及 LMMC_STATUS_OK.
被这些函数引用 lmmc_lgamma() , 以及 lmmc_tgamma().
| lmmc_status_t lmmc_tgamma | ( | lmmc_real_t | x, |
| lmmc_real_t * | out ) |
计算伽马函数 \(\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
计算伽马函数 tgamma(x) = exp(lgamma(x))，要求 x > 0。
| [in] | x | 输入值,必须为正数. |
| [out] | out | 输出 \(\Gamma(x)\) . |
计算伽马函数 \(\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
在文件 special_functions.c 第 75 行定义.
引用了 lmmc_lgamma(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE, LMMC_STATUS_OK , 以及 lmmc_tgamma().
被这些函数引用 lmmc_tgamma().
| lmmc_status_t lmmc_beta | ( | lmmc_real_t | a, |
| lmmc_real_t | b, | ||
| lmmc_real_t * | out ) |
计算贝塔函数 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) ,要求 \(a,b > 0\) .
使用稳定的共享 log-beta 内核，仅拒绝最终结果溢出。
使用 log-beta、Gamma 比值及 Stirling 公式稳定求值，支持 a+b 超出可表示范围。
| [in] | a | 第一个有限正形状参数。 |
| [in] | b | 第二个有限正形状参数。 |
| [out] | out | B(a,b)；有效下溢返回零，仅成功时写入。 |
计算贝塔函数 \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) ,要求 \(a,b > 0\) .
在文件 special_functions.c 第 92 行定义.
引用了 lmmc_beta(), lmmc_log_beta(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT, LMMC_STATUS_NUMERICAL_FAILURE , 以及 LMMC_STATUS_OK.
被这些函数引用 lmmc_beta().
| lmmc_status_t lmmc_digamma | ( | lmmc_real_t | x, |
| lmmc_real_t * | out ) |
计算双伽马函数 \(\psi(x) = \frac{d}{dx}\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
计算双伽马函数 psi(x) = d/dx ln(Gamma(x))。
使用递推关系将 x 提升到大值区域后应用渐近展开.
| [in] | x | 输入值,必须为正数. |
| [out] | out | 输出 \(\psi(x)\) . |
计算双伽马函数 \(\psi(x) = \frac{d}{dx}\ln\Gamma(x)\) ,要求 \(x > 0\) .
按 psi(x+1) = psi(x) + 1/x 递推至 x >= 7，再使用渐近展开： psi(x) ~ ln(x) - 1/(2x) - sum_{k=1}^{N} B_{2k}/(2k * x^{2k})， 其中 B_{2k} 为 Bernoulli 数。
渐近展开：psi(x) ~ ln(x) - 1/(2x) - 1/(12x^2) + 1/(120x^4) - 1/(252x^6) + ...。
Bernoulli 数：B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42，B8=-1/30，B10=5/66，B12=-691/2730。
展开系数为 B_{2k} / (2k)。
< 系数：B2/(2*1) = (1/6)/2。
< 系数：B4/(2*2) = (-1/30)/4。
< 系数：B6/(2*3) = (1/42)/6。
< 系数：B8/(2*4) = (-1/30)/8。
< 系数：B10/(2*5) = (5/66)/10。
< 系数：B12/(2*6) = (-691/2730)/12。
< 系数：B14/(2*7) = (7/6)/14 = 1/12。
< ix^(2k)，初值为 ix^2。
在文件 special_functions.c 第 112 行定义.
引用了 lmmc_digamma(), LMMC_STATUS_INVALID_ARGUMENT , 以及 LMMC_STATUS_OK.
被这些函数引用 lmmc_digamma().
| lmmc_status_t lmmc_lambertw | ( | lmmc_real_t | z, |
| lmmc_real_t * | out_res ) |
计算 Lambert W 函数主分支 \(W_0(z)\) .
微小输入使用逆级数，分支点附近使用抗消减级数，其余使用带保护的 Halley/二分迭代求解单调残差。恰等于 -LMMC_INV_E 的 binary64 输入 代表端点 -1/e，返回 -1；相邻输入按各自值处理。W0 保留零的符号。
前向误差工程目标为 64*DBL_EPSILON*abs(W)+2*minimum_subnormal。 验收以残差误差半径包围根，计入 binary64 舍入，并假设所支持 libm 的 log/exp/expm1 误差至多为 2 ULP；此为工程误差模型， 不构成精确算术证明或 C 标准对 libm 的保证。
| [in] | z | 大于或等于端点代表值的有限输入。 |
| [out] | out_res | 有限结果，仅在成功时写入。 |
在文件 special_functions.c 第 364 行定义.
引用了 lmmc_lambertw().
被这些函数引用 lmmc_lambertw().
| lmmc_status_t lmmc_lambertw_wm1 | ( | lmmc_real_t | z, |
| lmmc_real_t * | out_res ) |
计算 Lambert W 函数 \(W_{-1}\) 分支,要求 \(z \in [-1/e, 0)\) .
保护迭代、工程精度模型、端点约定和失败时保留输出的规则同 lmmc_lambertw。
| [in] | z | [-LMMC_INV_E,0) 内的有限输入；正零和负零均无效。 |
| [out] | out_res | <= -1 的有限结果，仅在成功时写入。 |
在文件 special_functions.c 第 368 行定义.
引用了 lmmc_lambertw_wm1().
被这些函数引用 lmmc_lambertw_wm1().
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